磁気単極子も含めたMaxwell方程式：
\begin{eqnarray*} \vec\nabla\cdot \vec D = \rho_e \ \ &,&\ \ \vec\nabla\cdot \vec B = \rho_m\\ \vec\nabla\times\vec H = \dot{ \vec D}+\vec J_e \ \ &,&\ \ -\vec\nabla\times\vec E = \dot{ \vec B}+\vec J_m \end{eqnarray*}ここで、\(\vec D=\epsilon_0 \vec E\ ,\ \vec B=\mu_0 \vec H\ \)を前提とするなら、 例えばポテンシャル\(\phi,\vec A,\psi,\vec V\)を以下のように設定することができる。
\begin{eqnarray*} \vec D &=&\epsilon_0 ( -\vec\nabla \phi-\dot{\vec A})-\vec \nabla \times \vec V \\ \vec B &=& \mu_0(-\vec\nabla \psi-\dot{\vec V} )+\vec \nabla \times \vec A \end{eqnarray*}なお、これらの関係式は以下のゲージ変換に対して形を変えない。
\begin{eqnarray*} \phi\to\phi+\dot{\chi_e}\ &,&\ \psi\to\psi+\dot{\chi_m}\\ \vec A\to\vec A - \vec\nabla \chi_e\ &,&\ \vec V\to\vec V - \vec\nabla \chi_m \end{eqnarray*}これらを Maxwell 方程式に代入して、以下のようにソースとの間の関係式を得る。
\begin{eqnarray*} g_e:=\dot\phi + c^2\vec\nabla\cdot\vec A\ &,&\ g_m:=\dot\psi + c^2\vec\nabla\cdot\vec V \\ \rho_e=\epsilon_0(\Box\phi-\frac{ 1 }{ c^2 }\dot g_e) \ &,&\ \rho_m=\mu_0(\Box\psi-\frac{ 1 }{ c^2 }\dot g_m)\\ \vec J_e=\epsilon_0(c^2\Box\vec A+\vec \nabla g_e) \ &,&\ \vec J_m=\mu_0(c^2\Box\vec V+\vec \nabla g_m) \end{eqnarray*}ここに、\(\Box:=\frac{1}{ c^2 }\frac{\partial ^2 }{\partial t^2 }-\vec\nabla\cdot\vec\nabla\) とした。 また、以下の公式を利用した。
\[ \vec\nabla\times(\vec\nabla\times\vec A)=\vec\nabla(\vec\nabla\cdot A)-(\vec\nabla\cdot\vec\nabla)\vec A \]ゲージ変換により、たとえば \(g_e=g_m=0\) として、方程式を解く事ができる。
ただ、問題点は粒子の受ける力との関係が未知である。電荷と磁荷がそれぞれ \(q_e,q_m\) である粒子が場から受ける力は、以下のようであるべきだが、
\begin{eqnarray*} \vec F=q_e(\vec E+\vec v\times\vec B)+q_m(\vec H-\vec v\times\vec D) \end{eqnarray*}それを再現する作用の相互作用項がどうなるのか、よくわからない。仮に以下のように設定しても再現されない。
\[ S_{int}=\int\{-q_e(\phi dt-\vec A\cdot d\vec x) - q_m(\psi dt-\vec V\cdot d\vec x)\} \]もうひとひねり、必要。