補足、いきなりアインシュタイン方程式！

ニュートンの重力理論の意味での重力場の作用は（式10.16）で与えられた。 ここではこれを計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)と接続\(\Gamma^\mu{}_{\nu\rho}\)を使った表現に書き直してみよう。

計量テンソル\(g_{\mu\nu}\)が重力ポテンシャルの役割も担うことがわかり、 接続に関しては局所慣性系で、\(\Gamma\)が全てゼロでも、その微分はゼロではないという意味で、 重力加速度との対応が、\(\vec g \simeq ( -\Gamma^1{}_{00}, -\Gamma^2{}_{00}, -\Gamma^3{}_{00})\) として求められた。これらから重力場の作用\(S_g\)は以下のような形に書かれるであろう。 \begin{eqnarray*} S_g=\int^{(4)}\;(計量g_{\mu\nu}の関数)\;( 接続\Gammaの微分 + 接続 \Gamma の２次式)\; d^4x \end{eqnarray*} ここに、“大きな数\(A\) ”は出てこないのだけれども、差し当たり式の中に含まれる \(c^2\) 程度の数がそれに相当すると思って欲しい。

（式10.16）により、“接続\(\Gamma\)の微分”のパートには、\(\vec \nabla\cdot\vec g=-\Gamma^i{}_{00,i}\)が含まれるべきである。 座標変換\(x^\mu \Leftrightarrow \hat x^{\hat \nu}\)が線型変換、 すなわち、\(x^\mu{}_{,\hat\nu\hat\rho}=0\) であるとき、接続\(\Gamma\)はテンソルとして振る舞うから、 この座標変換に対しては\(-\Gamma^i{}_{00,i}\)はテンソルとして振る舞うべきである。 つまりこれはテンソルの\(00\)成分として評価されるべきである。

言い換えると、時間を秒で表しても分で表しても方程式は同じであるべきである。 つまり、計量の一部 \(g_{00}\;dx^0 dx^0\)と同様に、\(-\Gamma^i{}_{00,i}\;dx^0 dx^0\)という積を考えて、 秒を分に直すと\(dx^0\)が60分の１に直されるから、 \(-\Gamma^i{}_{00,i}\)は、\(60^2\)倍されるべきである。 つまり、\(-\Gamma^i{}_{00,i}\;g^{00}\)という積にしておけば、この差異は吸収される。 線型変換に対しては、どちらもテンソルの\(00\)成分だから、作用の中の被積分関数として、 \(-\Gamma^i{}_{00,i}\) が含まれる項は、\(c\sqrt{\ } \; g^{\nu\rho}(-\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\mu})\;\) となるべきである。 こうしておけば、座標変換が線型変換であるときには、これはスカラー密度として振る舞う。 ここに、基本密度\(\sqrt{\ }\)が入っているのは、４元体積要素との積\(\sqrt{\ }\;d^4x\) がスカラーになるためである。

これが、一般の座標変換\(x^\mu \Leftrightarrow \hat x^{\hat \nu}\)に対してもスカラー密度になるようにしてみよう。 実は作用の被積分関数（ラグランジアン密度）には、\(X^\mu\) を任意のベクトル密度として \(X^\mu{}_{,\mu}\) を付け加える任意性は残されているが、 作用を組み立てるに当たり、計量\(g\)と接続\(\Gamma\)が独立な量であることを前提としているので、その任意性は活かされない。 言い換えると、座標変換に伴い \(\Gamma\) から生じた\(x^\mu{}_{\hat\nu\hat\rho}\)や、\(x^\mu{}_{\hat\nu\hat\rho\sigma}\)を含む項は、 計量\(g\)を搦め捕った形で\(X^\mu{}_{,\mu}\) の形にまとめ上げることはできない。 なぜならば、計量\(g_{\mu\nu}\)の具体的な関数の形はこの段階では未定だからである。 ゆえに、作用の被積分関数（ラグランジアン密度）は、スカラー密度にまとめるほか無い。

\(\Gamma\)の変換則（式11.33）を見て欲しい。 座標変換によって、微分項\((-\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\mu})\;\) から元の座標を新しい座標で３回微分した項が生じる。 これは\(\Gamma\)の２次式を付け加えても打ち消すことはできない。 ゆえに、これを打ち消すような\(\Gamma\)の微分項をさらに付け加える必要がある。 その候補は、\(\Gamma\)がトーションフリー\(\Gamma^\mu{}_{\rho\nu}=\Gamma^\mu{}_{\nu\rho}\)であることにより、一意に定まる。 \begin{eqnarray*} c\sqrt{\ } \; g^{\nu\rho}(-\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\mu}+{３階微分を打ち消す項}) = c\sqrt{\ } \; g^{\nu\rho}(-\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\mu}+\Gamma^\mu{}_{\nu\mu,\rho}) \end{eqnarray*} ここに付加した項につき、計量テンソルは対称\(g^{\nu\rho}=g^{\rho\nu}\) だから、 \(\Gamma^\mu{}_{\nu\mu,\rho}\)と\(\Gamma^\mu{}_{\rho\mu,\nu}\)の別を気にする必要はない。 これで、座標変換に伴い生じる旧座標を新座標で３回微分した項は相殺（差し引きゼロに）できる。

この付加された項\(\Gamma^\mu{}_{\mu\nu}\)であるが、もしもこの\(\Gamma\)が計量条件（式11.7）を満たすとした場合には、 トーションフリーを前提に、以下のようになる。 \begin{eqnarray*} \Gamma^\mu{}_{\mu\nu}=(\ln\sqrt{\ })_{,\nu} \end{eqnarray*} つまりこれは、基本密度が定数の場合には恒等的にゼロになる量である。 言い換えると、座標の目盛りの密度の増減を表しているような量なので、物理的な意味を担うことはないであろう。

次に\(\Gamma\)の２次の項を考えてみよう。 これは作用の被積分関数（ラグランジアン密度）がスカラー密度になるようにするというだけでなく、 作用を\(\Gamma\)で変分したときに（式11.7）を導くようにするという役割も担っている。 意味を考えつつ求めてもよいのだが、ここは潔く力技で攻めてみよう。 \(\Gamma\)の２次の項は、線型変換では\(\Gamma\)がテンソルになることを踏まえて、３通りしかありえないので、 以下に定める\(R\)がスカラーとなるように、定数\(C_1,C_2,C_3\)を定めてやればよい。 \begin{eqnarray*} R=g^{\nu\rho}(-\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\mu}+\Gamma^\mu{}_{\nu\mu,\rho} + C_1 \Gamma^\alpha{}_{\beta\nu}\;\Gamma^\beta{}_{\alpha\rho} + C_2 \Gamma^\alpha{}_{\nu\rho}\;\Gamma^\beta{}_{\beta\alpha} + C_3 \Gamma^\alpha{}_{\alpha\nu}\;\Gamma^\beta{}_{\beta\rho} ) \end{eqnarray*} これに座標変換（式11.33）を適用し、\(R\)がスカラー量であることにより、\(C_1=1,\ C_2=-1,\ C_3=0\)を得る。

以上により重力場の作用は、\(\kappa\)を定数として以下のように書かれる。 \begin{eqnarray*} S_g &=& \kappa\int^{(4)}R_{\nu\rho}\;g^{\nu\rho}\sqrt{\ }\;d^4x \\ R_{\nu\rho} &:=& -\Gamma^\mu{}_{\nu\rho,\mu}+\Gamma^\mu{}_{\nu\mu,\rho} + \Gamma^\alpha{}_{\beta\nu}\;\Gamma^\beta{}_{\alpha\rho} - \Gamma^\alpha{}_{\nu\rho}\;\Gamma^\beta{}_{\beta\alpha} \end{eqnarray*} これを\(\Gamma\)で変分すると、P354 に記した計算を経て、ハミルトンの原理 \(\delta_\Gamma S_g=0\) が計量条件（式11.7）を与えることがわかる。

ここから（§12.2, §12.3）の論理に従い、定数\(\kappa\)が定まり、アインシュタイン方程式が導出される。