問題 12.3.1の答え

〆切を過ぎて紙面も尽きたので、解答を入れる場所も時間もありませんでした。 m(_ _)m

答えをこちらに掲載させていただきます。いわゆるゲージ場の方程式がアインシュタイン方程式のフォーマットで書けるという話です。

このページは、本を買って問題にチャレンジしてから見てください。

$x^0$を時間座標、$x^1,x^2,x^3$を空間座標、添え字４を欠番とし、第5の座標$y$を$x^5$とする。 添え字は第５の座標を含める場合は、大文字ローマ字$A,B=0,1,2,3,5$を用い、 含めない場合は、ギリシャ文字$\mu,\nu=0,1,2,3$を用いる。 ５次元の計量を$\tilde g_{AB}$、４次元の計量を$g_{\mu\nu}$として、 ５次元の計量$\acute{d}\tilde s$は、４次元の計量$\acute{d}s^2$を用いて以下のように書かれる。 ここで、条件より、$g_{\mu\nu}\ ,\ A_\mu$は５番目の座標$y$に対して定数。 $$\begin{eqnarray} \acute{d}s^2 &=& g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu \tag{12.13}\\ \acute{d}\tilde s^2 &=& \acute{d}s^2 -l^2(dy-A_\mu dx^\mu)^2 = \tilde g_{AB}dx^A dx^B \tag{12.14}\label{x_R23zx1a4iwuek9uf} \end{eqnarray}$$

part1: 粒子の運動（作用）

方針：座標$y$に対して、変化が無いことを利用する。一度ハミルトン型式へ移行し、定数の自由度に関しては放置して、ラグランジ型式に戻る。

５次元空間で質量$\tilde m$の粒子の運動に関する作用$S_\mathrm{kin5}$は以下のように書かれる。 ついでにラグランジアン$\tilde L$を定義する。 $$S_\mathrm{kin5} = \int -\tilde m\; c\; \acute{d}\tilde s =:\int \tilde L\; dx^0 \tag{12.15}\label{x_D1_3bgdn1emsvjg1}$$ 目標は空間座標$x^1,x^2,x^3,y$を、時間座標$x^0$の関数として、それらの満たすべき方程式を与えることである。 ここで、$\dot x^\mu := \frac{d x^\mu }{d x^0 }\ ,\ \dot y:=\frac{d y }{d x^0 }\ ,\ \dot{\tilde s} := \frac{ \acute{d}\tilde s }{ dx^0 }\ ,\ \dot{ s} := \frac{ \acute{d}s }{ dx^0 }$とすると、以下のように表される。 $$\tilde L {\stackrel{\mathrm{\ref{x_D1_3bgdn1emsvjg1}}}{=}} -\tilde m\; c\; \dot{\tilde s} {\stackrel{\mathrm{\ref{x_R23zx1a4iwuek9uf}}}{=}} -\tilde m\; c\; \sqrt{ {\dot s}^2 -l^2(\dot y-A_\mu \dot x^\mu)^2 }$$ ここで、$p_1:=\frac{\partial \tilde L }{\partial \dot x^1 } \ ,\ p_2:=\frac{\partial \tilde L }{\partial \dot x^2 } \ ,\ p_3:=\frac{\partial \tilde L }{\partial \dot x^3 } \ ,\ q:=\frac{\partial \tilde L }{\partial \dot y }$ を一般化運動量として、以下のハミルトニアン$H$を定義することができる。 $$H(x^1, x^2, x^3, p_1 , p_2 , p_3 , q ) = p_1 \dot x^1 + p_2 \dot x^2 + p_3 \dot x^3 + q \dot y -\tilde L$$ このハミルトニアンは座標$y$を含んでいないから、ハミルトンの運動方程式により、$q$が定数であることがわかる。 $$\frac{ dq }{ dx^0 }=-\frac{\partial H }{\partial y }=0$$ よって、$q$を定数として、そのままにし、$y$以外の座標について、ラグランジアンに戻す。 $$L=p_1 \dot x^1 + p_2 \dot x^2 + p_3 \dot x^3 -H =\tilde L - q\dot y \tag{12.16} \label{x_U3s_iynsa1u535m1}$$ これを具体的に計算してみよう。 $$q=\frac{\partial \tilde L }{\partial \dot y }=-\tilde m\; c\; \frac{ -2l^2(\dot y-A_\mu \dot x^\mu) }{ 2\dot{ \tilde s} } =\tilde m\; c\; l^2 \frac{ dy-A_\mu dx^\mu }{ \acute{d}\tilde s }$$ これを$\dot y$について解くと、（式$\ref{x_R23zx1a4iwuek9uf}$）より、以下のようになる。 $$\dot y = \frac{ q }{ l\sqrt{(\tilde m\;c\;l)^2+q^2} }\dot s + A_\mu \dot x^\mu$$ これを（式$\ref{x_U3s_iynsa1u535m1}$）に代入して、$m:= \sqrt{ {\tilde m}^2 +\frac{ q^2 }{ l^2 c^2 } }$として、以下を得る。 $$L=-m\;c\;\dot s -q A_\mu \dot x^\mu$$ これは電磁場のポテンシャル$A_\mu$の中に置かれた電荷$q$を伴った質量$m$の粒子のラグランジアンにほかならない。 なお、この理論の枠組みでは、電荷（すなわち第５次元方向の運動量）が存在する限り、時空４次元世界での質量はゼロにはなりえないことが興味深い。

part2: 場の方程式（作用）

方針：ただ粛々とクリストッフェル記号を計算し、リッチテンソルを計算し、スカラー曲率を計算する。 計算の過程では第５の次元とそれ以外に分けて計算する。

計量テンソル

５次元の計量$\tilde g_{AB}$を、４次元の計量を$g_{\mu\nu}$を用いて行列表示すると、 $$(\tilde g_{AB}) {\stackrel{\mathrm{\ref{x_R23zx1a4iwuek9uf}}}{=}} \begin{pmatrix} g_{\mu\nu}-l^2 A_\mu A_\nu & l^2 A_\mu \\ l^2 A_\nu & -l^2 \\ \end{pmatrix} \tag{12.17} \label{x_Z7_5djpfmcmr7pzm}$$ ５次元の計量の逆行列を$\tilde g^{AB}$を、４次元の計量の逆行列$g^{\mu\nu}$を用いて表してみよう。 ここで、$A^\mu:=g^{\mu \nu}A_\nu\ ,\ \bar A^2:=A^\alpha A_\alpha$とする。 $p,q,r,s$を定数として、以下のように置いてみる。 $$(\tilde g^{AB})=\begin{pmatrix} g^{\nu\rho} +p A^\mu A^\nu& q A^\nu \\ r A^\rho & s\\ \end{pmatrix}$$ 積が単位行列になることから、定数$p,q,r,s$が定まるので、$\tilde g_{AB}$の逆行列は以下のように求められる。 $$(\tilde g^{AB})=\begin{pmatrix} g^{\nu\rho} & A^\nu \\ A^\rho & \bar A^2 -\frac{1}{l^2} \\ \end{pmatrix} \tag{12.18}$$ ５次元計量テンソルの行列式は、（式$\ref{x_Z7_5djpfmcmr7pzm}$）により、以下のようになる。 $$\det(\tilde g_{AB})=-l^2\det(g_{\mu\nu}) \tag{12.19} \label{x_Sbbidk8dd7ha6yvj}$$ なぜならば、 $$\det(\tilde g_{AB}) = \det\begin{pmatrix} g_{\mu\nu}-l^2 A_\mu A_\nu & l^2 A_\mu \\ l^2 A_\nu & -l^2 \\ \end{pmatrix}$$ であるが、行列式の線型性を利用して、 第５列を$A_0$倍して、第１列に足し、 第５列を$A_1$倍して、第２列に足し、 第５列を$A_2$倍して、第３列に足し、 第５列を$A_3$倍して、第４列に足すと、以下のようになる。 $$\det(\tilde g_{AB}) = \det\begin{pmatrix} g_{\mu\nu} & l^2 A_\mu \\ 0 & -l^2 \\ \end{pmatrix}$$ つぎに、 第５行を$A_0$倍して、第１行に足し、 第５行を$A_1$倍して、第２行に足し、 第５行を$A_2$倍して、第３行に足し、 第５行を$A_3$倍して、第４行に足すと、右上の$l^2A_\mu$は消去されて、以下のようになる。 $$\det(\tilde g_{AB}) = \det\begin{pmatrix} g_{\mu\nu} & 0 \\ 0 & -l^2 \\ \end{pmatrix} = -l^2 \det\begin{pmatrix} g_{\mu\nu} & 0 \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} = -l^2 \det(g_{\mu\nu} )$$ 以上により５次元の基本密度は、４次元の基本密度$\sqrt{\ }:=\sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|\ }$を用いて以下のように表される。 $$\sqrt{\det(g_{AB})}=l\sqrt{\ } \tag{12.20} \label{kihonnmitudo_5dim}$$

第１種クリストッフェル記号

まずは、４次元の物理量で以下の記号を定義する。 $$\begin{eqnarray} F_{\mu\nu} &:=& A_{\mu,\nu}-A_{\nu,\mu} \\ F^\mu{}_{\nu} &:=& g^{\mu\alpha}F_{\alpha\nu} \\ E_{\mu\nu} &:=& A_{\mu,\nu}+A_{\nu,\mu} \\ \end{eqnarray}$$ 第１種クリストッフェル記号を計算する。 ５次元での物理量を、$\tilde{\ }$付きで、４次元での物理量を$\tilde{\ }$無しで、表わす。 座標$y$に依存する関数は無いので$x^5$での微分は全てゼロになる。 $$\begin{eqnarray} \tilde \Gamma_{555} &=& \frac{1}{2}(\tilde g_{55,5} + \tilde g_{55,5} - \tilde g_{55,5 } )=0 \tag{12.21} \label{gamma_555} \\ \tilde \Gamma_{\mu 55} &=& \frac{1}{2}(\tilde g_{\mu 5,5} + \tilde g_{\mu 5,5} - \tilde g_{55,\mu } )=0 \tag{12.21} \label{gamma_m55} \\ \tilde \Gamma_{5\nu 5} &=& \frac{1}{2}(\tilde g_{5\nu,5} + \tilde g_{55,\nu} - \tilde g_{5\nu,5 } )=0 \tag{12.22} \label{gamma_5n5} \\ \tilde \Gamma_{\mu\nu 5} &=& \frac{1}{2}(\tilde g_{\mu\nu,5} + \tilde g_{\mu 5,\nu} - \tilde g_{\nu 5,\mu } )=\frac{1}{2}l^2\;F_{\mu\nu} \tag{12.23} \label{gamma_mn5} \\ \tilde \Gamma_{5\nu\rho} &=& \frac{1}{2}(\tilde g_{5\nu,\rho} + \tilde g_{5\rho,\nu} - \tilde g_{\nu\rho,5 } )=\frac{1}{2}l^2 \;E_{\nu\rho} \tag{12.24} \label{gamma_5nr} \\ \tilde \Gamma_{\mu\nu\rho} &=& \frac{1}{2}(\tilde g_{\mu\nu,\rho} + \tilde g_{\mu\rho,\nu} - \tilde g_{\nu\rho,\mu } ) \nonumber \\ &=&\Gamma_{\mu\nu\rho}+\frac{1}{2}(-l^2)( (A_\mu A_\nu)_{,\rho} + \left(A_\mu A_\rho)_{,\nu} - (A_\nu A_\rho)_{,\mu} \right) \nonumber \\ &=&\Gamma_{\mu\nu\rho}-\frac{1}{2}l^2 ( A_\mu E_{\nu\rho} + A_\nu F_{\mu\rho} + A_\rho F_{\mu\nu} ) \tag{12.25} \label{gamma_mnr} \end{eqnarray}$$

第２種クリストッフェル記号

$$\begin{eqnarray} \tilde \Gamma^5{}_{55} &=& \tilde g^{5\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha 55} + \tilde g^{55}\tilde \Gamma_{555} =0 \tag{12.26} \label{gamma^5_55} \\ \tilde \Gamma^\mu{}_{55} &=& \tilde g^{\mu\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha 55} + \tilde g^{\mu 5}\tilde \Gamma_{555} =0 \tag{12.27} \label{gamma^m_55} \\ \tilde \Gamma^5{}_{\nu 5} &=& \tilde g^{5\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha \nu 5} + \tilde g^{55}\tilde \Gamma_{5\nu 5} =A^\alpha\cdot\frac{1}{2}l^2 F_{\alpha\nu} =\frac{1}{2}l^2 A_\alpha F^\alpha{}_\nu \tag{12.28} \label{gamma^5_n5} \\ \tilde \Gamma^\mu{}_{\nu 5} &=& \tilde g^{\mu\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha \nu 5} + \tilde g^{\mu 5}\tilde \Gamma_{5\nu 5} =g^{\mu\alpha}\cdot\frac{1}{2}l^2 F_{\alpha\nu} =\frac{1}{2}l^2 F^\mu{}_{\nu} \tag{12.29} \label{gamma^m_n5} \\ \tilde \Gamma^5{}_{\nu\rho} &=& \tilde g^{5\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha \nu\rho} + \tilde g^{55}\tilde \Gamma_{5\nu\rho} :{不要につき省略} \nonumber \\ \tilde \Gamma^\mu{}_{\nu\rho} &=& \tilde g^{\mu\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha \nu\rho} + \tilde g^{\mu 5}\tilde \Gamma_{5\nu\rho} \nonumber \\ &=& g^{\mu\alpha}\tilde \Gamma_{\alpha \nu\rho} + A^\mu \tilde \Gamma_{5\nu\rho} \nonumber \\ &=& \Gamma^\mu{}_{\nu\rho}-\frac{1}{2}l^2 ( A^\mu E_{\nu\rho} + A_\nu F^\mu{}_\rho + A_\rho F^\mu{}_\nu ) +A^\mu\cdot \frac{1}{2}l^2 \;E_{\nu\rho} \nonumber \\ &=& \Gamma^\mu{}_{\nu\rho}-\frac{1}{2}l^2 ( A_\nu F^\mu{}_\rho + A_\rho F^\mu{}_\nu ) \tag{12.30} \label{gamma^m_nr} \\ \end{eqnarray}$$

第２種クリストッフェル記号のトレース

$$\begin{eqnarray} \tilde \Gamma^A{}_{A5} &=& \tilde \Gamma^\alpha{}_{\alpha 5} +\tilde \Gamma^5{}_{55} =0 \tag{12.31} \label{gamma_5_contract} \\ \tilde \Gamma^A{}_{A\rho} &=& \tilde \Gamma^\alpha{}_{\alpha\rho} +\tilde \Gamma^5{}_{5\rho} \nonumber \\ &=& \Gamma^\alpha{}_{\alpha\rho}-\frac{1}{2}l^2 A_\alpha F^\alpha{}_\rho + \frac{1}{2}l^2A^\alpha F_{\alpha\rho} \nonumber \\ &=& \Gamma^\alpha{}_{\alpha\rho} \tag{12.32} \label{gamma_r_contract} \\ \end{eqnarray}$$

リッチテンソル

第５成分とその他に分けて、まずは値がゼロになる部分を探して潰す。そして代入。 ここで接続$\Gamma$はクリストッフェル記号なので、トーションフリー（$\tilde\Gamma^A{}_{CB}=\tilde\Gamma^A{}_{BC}$）を前提としている。 記号“${}_:$”は、共変微分を表す。 $$\begin{eqnarray} R_{NR} &:=& -\tilde\Gamma^A{}_{NR,A} + \tilde\Gamma^A{}_{AN,R}-\tilde\Gamma^B{}_{NR} \tilde\Gamma^A{}_{AB}+\tilde\Gamma^B{}_{AN} \tilde\Gamma^A{}_{BR} \nonumber \\ \tilde R_{55} &=& -\tilde \Gamma^A{}_{55,A} + \tilde \Gamma^A{}_{A5,5} -\tilde \Gamma^B{}_{55} \tilde \Gamma^A{}_{AB} +\tilde \Gamma^A{}_{B5} \tilde \Gamma^B{}_{A5} {\stackrel{\mathrm{\ref{gamma^5_55}\\\ref{gamma^m_55}}}{=}} \tilde \Gamma^\alpha{}_{\beta 5} \tilde \Gamma^\beta{}_{\alpha 5} \nonumber \\ &=& (\frac{1}{2}l^2)^2 F^\alpha{}_\beta F^\beta{}_\alpha \tag{12.33} \label{xRicci_55} \\ \frac{1}{2}(\tilde R_{5\rho}+\tilde R_{\rho 5}) &=& -\tilde \Gamma^A{}_{5\rho,A} + \frac{1}{2}(\tilde \Gamma^A{}_{A\rho,5} +\tilde \Gamma^A{}_{A5,\rho}) -\tilde \Gamma^B{}_{5\rho} \tilde \Gamma^A{}_{AB} +\tilde \Gamma^A{}_{B5} \tilde \Gamma^B{}_{A\rho} \nonumber \\ &=& -\tilde \Gamma^\alpha{}_{5\rho,\alpha} -\tilde \Gamma^\beta{}_{5\rho} \Gamma^\alpha{}_{\alpha\beta} +\tilde \Gamma^\alpha{}_{\beta 5} \tilde \Gamma^\beta{}_{\alpha\rho} +\tilde \Gamma^5{}_{\beta 5} \tilde \Gamma^\beta{}_{5\rho} \nonumber \\ &=& -\frac{1}{2}l^2 F^\alpha{}_{\rho,\alpha} -\frac{1}{2}l^2 F^\beta{}_\rho \Gamma^\alpha{}_{\alpha\beta} \nonumber \\ &&+\frac{1}{2}l^2 F^\alpha{}_\beta \left(\Gamma^\beta{}_{\alpha\rho} -\frac{1}{2}l^2 ( \underline{A_\alpha F^\beta{}_\rho }+ A_\rho F^\beta{}_\alpha )\right) \nonumber \\ &&+\underline{\frac{1}{2}l^2 A_\alpha F^\alpha{}_\beta \cdot \frac{1}{2}l^2 F^\beta{}_\rho} \nonumber \\ &=& -\frac{1}{2}l^2 F^\alpha{}_{\rho:\alpha} - A_\rho \tilde R_{55} \tag{12.34} \label{xRicci_n5} \\ \tilde R_{\nu\rho} &=& -\tilde\Gamma^A{}_{\nu\rho,A} + \tilde\Gamma^A{}_{A\nu,\rho}-\tilde\Gamma^B{}_{\nu\rho} \tilde\Gamma^A{}_{AB}+\tilde\Gamma^B{}_{A\nu} \tilde\Gamma^A{}_{B\rho} \nonumber \\ &=& -\tilde\Gamma^\alpha{}_{\nu\rho,\alpha} + \Gamma^\alpha{}_{\alpha\nu,\rho}-\tilde\Gamma^\beta{}_{\nu\rho} \Gamma^\alpha{}_{\alpha\beta} +\tilde\Gamma^\beta{}_{\alpha\nu} \tilde\Gamma^\alpha{}_{\beta\rho} +\tilde\Gamma^5{}_{\alpha\nu} \tilde\Gamma^\alpha{}_{5\rho} +\tilde\Gamma^\beta{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{\beta\rho} +\tilde\Gamma^5{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{5\rho} \nonumber \\ &=& R_{\nu\rho} +\tilde\Gamma^5{}_{\alpha\nu} \cdot \frac{1}{2}l^2\;F^\alpha{}_\rho +\frac{1}{2}l^2\;F^\beta{}_\nu \cdot \tilde\Gamma^5{}_{\beta\rho} +\tilde\Gamma^5{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{5\rho} \tag{12.35} \label{xRicci_mn} \end{eqnarray}$$

スカラー曲率

$$\begin{eqnarray} g^{\nu\rho}\tilde R_{\nu\rho} &=& R + \frac{1}{2}l^2 \;g^{\nu\rho}( \tilde\Gamma^5{}_{\alpha\nu} \;F^\alpha{}_\rho +F^\beta{}_\nu \tilde\Gamma^5{}_{\beta\rho} ) +g^{\nu\rho} \tilde\Gamma^5{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{5\rho} \nonumber \\ &=& R + g^{\nu\rho} \tilde\Gamma^5{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{5\rho} \tag{12.35} \label{H1r55wjpce641w98}\\ \tilde R &=& \tilde g^{AB}\tilde R_{AB} \nonumber \\ &=& g^{\nu\rho}\tilde R_{\nu\rho} + A^\rho (\tilde R_{5\rho} +\tilde R_{\rho 5} ) +(\bar A^2 -\frac{1}{l^2}) \tilde R_{55} \nonumber \\ &=& R + g^{\nu\rho} \tilde\Gamma^5{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{5\rho}+2A^\rho (-\frac{1}{2}l^2 F^\alpha{}_{\rho:\alpha} - A_\rho \tilde R_{55} )+(\bar A^2 -\frac{1}{l^2}) \tilde R_{55} \nonumber \\ &=& R-l^2\; A^\rho F^\alpha{}_{\rho:\alpha}-\frac{1}{l^2}\tilde R_{55} -\bar A^2 \tilde R_{55}+ g^{\nu\rho} \tilde\Gamma^5{}_{5\nu} \tilde\Gamma^5{}_{5\rho} \nonumber \\ &=& R+l^2(-A^\rho F^\alpha{}_{\rho:\alpha} - \frac{1}{4}F^\alpha{}_{\beta}F^\beta{}_{\alpha}) \nonumber \\ &&+(\frac{1}{2}l^2)^2(-\bar A^2 F^\alpha{}_{\beta}F^\beta{}_{\alpha} +g^{\nu\rho}( A_\alpha F^\alpha{}_\nu )( A_\beta F^\beta{}_\rho ) ) \nonumber \\ \end{eqnarray}$$ この全体に$\frac{ c^3 }{ 16\pi G }\sqrt{\ }\;d^4 x$を掛けて積分$\int^{(4)}$すれば、第１項は重力場の作用（式12.12）になり、 $l$の値を調節すれば、$l^2$に比例する第２項は電磁場の作用（式6.75）になる。 これらの係数を見比べて、以下の関係が見出される、 $$\begin{eqnarray*} \frac{c^3}{16\pi G}l^2=\frac{1}{Z_0} \end{eqnarray*}$$ ここに、$G$は万有引力定数、$c$は真空中の光の速さ、$Z_0$は真空の特性インピーダンスである。 値を代入して$l$を求めると、以下のようになる。 $$\begin{eqnarray*} l=5.74890\times 10^{-19} \mathrm{A/N} \end{eqnarray*}$$ $l^4$に比例する第３項は、電磁場の作用からの相違を表しているが、 第２項に比して、$l^2\;\bar A^2\approx(l\;A_0/c)^2$程度の大きさである。 この値を評価してみよう。 $A_0$は静電ポテンシャル。すなわち、電気的なエネルギーを電気量で割った量である。 仮にこれを百万ボルトとしてみよう。 $$\begin{eqnarray*} l^2\;\bar A^2 \approx (l\times 1000000 V/c)^2\simeq 3.7\times 10^{-42} \end{eqnarray*}$$ 百万ボルトを以てしても非常に小さいことがわかる。 故に第３項は無視できるものと評価して、題意の５次元空間の計量が、電磁場と重力場を表していることが示された。

考察

検証可能性について

$l^4$に比例する第３項の存在により、電磁場の理論がファラデー＆マクスウェルによる電磁気学の法則からわずかにズレている。 これは目標からすれば好ましくないようにも思われるが、実験により、もとの理論との間に優劣を決める手がかりにもなる。 それには高電圧の環境下で電磁気学の法則が保たれるかを検証することになるが、 荷電粒子はとても強い力を受けるし、ズレの値は絶望的に小さいし、実験は困難を極めると考えられる。

質量の問題

part1で述べた粒子の運動に関する考察により、 ５次元空間での質量$\tilde m$がほぼゼロであるとした場合、 ４次元空間の質量は$\frac{ q }{ l\;c }$だということになる。 もしかしたら質量の起源を説明できたかもしれないという期待感が膨らむが、 電気量$q$に電気素量$e$を代入して実際に計算してみると、 $$\begin{eqnarray*} m=\frac{ e }{ l\;c }=9.2960\times 10^{-7} \mathrm{g} \end{eqnarray*}$$ この質量は、もはや微生物のレベルであり、電子や陽子の質量を表しているとするには、あまりにも大きすぎる。 何か、もう一工夫必要なようだ。

タキオンへの応用

しかしながら、超光速に関心のある者にとってはむしろ朗報かもしれない。 つまり、$\tilde m^2<0$としてしまえばよいのである。 これが許されるのであれば、高次元の空間の中でのタキオンが我々の住む時空４次元に落とした影が、いわゆる通常の素粒子であるとも解釈できる。

さらに、タキオンに関しては、高次元以外にも応用が利く。 トロイダルコイルを用いて真空中に非常に強力な閉じた磁束線を作り出して、そこにタキオンを捕捉したならば、 タキオンをあたかも通常の粒子のように扱える可能性が見出される。

素電荷の起源

高校物理の最後当たりに習う前期量子論では、物体の運動に伴う波動の波長$\lambda$は、プランク定数$h$をその運動量で割った量であると説かれる。 そして粒子が周回軌道を描いたり、狭いところに閉じこめられていたりするような環境では、その波動が定在波を作る場合にのみ存在が許されると説かれる。

この考えを応用すれば、電気量に最小単位$e$が存在することの説明ができるであろう。 すなわち我々の時空４次元世界は、５次元空間の中の薄膜の中に閉じこめられたシャボン玉の液体部分の様な世界であると考える。 あるいは、第５の次元の方向へは円筒を巡るように、一回りして元の場所に戻ってしまうという周期境界条件が課されていると考える。

part1で述べた粒子の運動に関する考察により、 第５次元方向の運動量が電気量であったから、仮にこれを電気素量$e$として、膜の厚さ$d$を求めてみよう。 定在波ができる条件として膜の表面から他の側の表面を経て元に戻る往復の長さ$2d$が波長$\lambda=h/e$と一致するから、 $2d=h/e$である。 しかしながら、この厚みは、座標$y$で測った長さだから、我々の意図する単位系で表すには$l$を掛ける必要がある。

すなわち、膜の厚さは、以下のように非常に小さなものとなる。 $$\begin{eqnarray*} d=l\;h/(2e)=1.1888\times 10^{-33}\mathrm{m}=73.55\;l_{pl} \end{eqnarray*}$$ これはこの世界の最小の長さとも言えるプランク長さ$l_{pl}=\sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$にさえも迫る程の小ささである。