ここでは、open string の場合に関して Virasoro algebla
を証明する。
Virasoro generator と 各振動モードの係数との交換関係は、quantum でも、
である。なぜなら、α２次と、α１次の項の交換関係だから、結果がαの１次式になることにより、２次の項のオーダリングは結果に影響しないから。
各振動モードの係数αと、L0 との交換関係は、αが L0 の固有ベクトルのようになっているので、オーダリングに関する考慮をする必要がない。
ゆえに、m = 0 の場合について、成立。
計算の途中で現れる α 同士が、互いに可換（∵モード数の和が０にならない）であるので、この場合も、オーダリングを気にせず計算を進めることができる。
ゆえに、m ≠ 0 , n ≠ 0 , m+n ≠ 0 の場合にも成立
ゆえに、m = 1 , n = -1 の場合についても成立
L2 を normal ordering に並べ替えて、
となる。よって、交換関係は、
ゆえに、m = 2 , n = -2 の場合についても成立。center charge c は、次元数
が、成り立つと仮定すると、
より、
も、成立する。よって、数学的帰納法により、Virasoro algebra が成り立つことが証明された。
以上 ☺
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