1. 相対性・対称性
    1. ローレンツ変換 図解編
      1. グラフでナットク
      2. 超光速と棒とタイムマシン

2-5、ローレンツ変換 図解編

2-5-1、グラフでナットク

 ここでは、ローレンツ変換[ 2-3-3の(4)式 ]を、視覚的に捉えてみます。 お手元にグラフ用紙を用意してください。 ある時刻と場所の点が、2種類の座標でどう表されるものか、グラフ用紙に書いてみましょう。

自然法則は幾何学の言葉で記述される!?

 物理学の醍醐味の一つは、自分が予言者になれることです。森羅万象の出来事が、時間と共にどの様に変化していくか、規則性を見いだすことで、未来を予測する知識を得ます。 私たちは、その規則性を、図に描いて理解することができます。ちょうど、電車の時刻表を想像してください。たくさんの電車が、いつ何処にいるか、はっきりわかりますね。
 時刻表は、表だけれども、これをグラフにすると、電車の位置を視覚的にとらえることができます。電車の位置を、空間方向と時間方向をそれぞれ軸としたグラフに書き込んでしまいます。
 極端な話、時間と共に移り変わる全ての出来事は、一つの図形で理解することができるようになります。図形を扱うのは数学で言うところの幾何学です。とても大げさな表現をすると、「自然法則は幾何学の言葉で記述される」ということになります。

x-tグラフと点とイベント

 図1a をごらんください。xで代表される座標の上を、点Qが動いていきます。これを各時刻ごとに、下から上へ積み上げて描いてみましょう。すると、図1b のようになります。 これを連続的に表すためには、縦に順番につなげて、図1c のような、x-tグラフにしてしまいます。このグラフの上では、点Qは、線として表されることになります。x-tグラフには、縦軸と横軸がありますが、どちらにtを割り振って、どちらにxを割り振らなければならないかというような、決まりはありません。学校の物理の授業では、横軸にt、縦軸にxを割り振っている場合が、多いのではないのでしょうか。
 ある場所で、ある瞬間に、Pと呼ばれるイベント(=出来事)が、おこったとしましょう。これは、x-tグラフの上では、点として表されます。しかし、私たちが「点」と認識しているものは、このグラフの上では、線として描かれています。呼び方がとても紛らわしいので、混乱の恐れがある場合には、時間と位置の両方が狭く限られているPのような領域を「イベント」と呼ぶことにします。なお、多くの教科書や通俗書では、このイベントのことを「事象」とよんでいます。Event を日本語に訳したものです。かえって難しくなってしまったように聞こえるので、訳さないで、そのままよぶことにします。
 大きさを持った棒は、どのように書き込まれるかというと、図1c のように面としてあらわされます。ちょうど、新しいチョークを、黒板に横にしてくっつけて、擦ってできたような図形。棒の長さは、図1b のような状況で測ればよいので、図1c では、棒を表す面を、時刻一定の線で切った切り口の長さを求めます。
 なお、このグラフ用紙の上に、コーヒーをこぼしてしまったとしましょう。 グラフ用紙は、水分を吸って、ところどころ伸びてしまいました。もうベコベコです。こういう状況を俗に「時空が歪んでいる」といいます。いくつかの、お互いに一定の間隔で直進しているハズの点の集まりが、膨らんだシミの部分を通り抜けると、おたがいに集まってしまいます。点をあらわす線は、それぞれまっすぐに引いてあるのに、です。これを使って、ものが落ちる性質「重力」を表現することができます。

 さて、問題です。次の内容は、点ですか?それともイベントですか?
  1、初代校長先生の銅像の鼻先。
  2、タケシ君が手をたたいた。

別の座標を重ね書きしてみよう

 x-tグラフの中に、新たにct’x’の値を書き込んでみましょう。 [ 2-3-3の(4’)式 ]をご覧ください。イベント(点)がどの様に移されるでしょうか?ct’x’の値を適当に入れて、それが、ctとxではどのような値になるものか、調べてみます。

(ct’,x’)=(0,0) → (ct,x)=(0,0)
(ct’,x’)=(1,0) → (ct,x)=(Cosh,Sinh)
(ct’,x’)=(0,1) → (ct,x)=(Sinh,Cosh)

ここに、
Cosh=, Sinh =(v/c)Cosh

となります。例えば、速さvの値を光の速さcの60%だとすると、

(ct’,x’)=(0,0) → (ct,x)=(0,0)
(ct’,x’)=(1,0) → (ct,x)=(1.25,0.75)
(ct’,x’)=(0,1) → (ct,x)=(0.75,1.25)

と、いうことになります。それぞれの点は、図2の様に表されます。

(ct’,x’)=(2,0)となるような点は、どうしましょう? 計算でも求めることができますが、図を利用して求めることができます。 (ct’,x’)の値が、 (0,0)から (1,0)へと向かう線分を2倍に延長して、図3のct’=2の点が求まります。この要領で、x’=0を満たす任意の点(つまり、原点O’のあらゆる時刻での位置)が、図3のように作図によって求めることができます。
 同様にして、t’=0を満たす任意の点も、図4の様に求めることができます。この線は、t’=0ですから、この線上の点は全て同じ時刻を表していることになります。但し、原点O’と一緒に走る座標系での「同時刻」です。この線が、x軸と重なっていないことが、とても特徴的です。このズレこそが、「同時刻」が、相対的であることを物語っています。
 つぎに、原点O’を基準とした、同時刻の線と、同じ位置の線をたくさん描いてみましょう。同時刻の線は、図5のように、ct’=0の線と平行に引きます。同じ位置の線は、図6のように、x’=0の線と、平行に引きます。

 こうして、何本も線を引くと、図7のように、斜めにひしゃげた座標を書き込むことができます。これで、同じグラフ上の一つの点が、Oを基準とした世界での値と、O’を基準とした世界での値の、2通りの値に読みとれるようになります。
各自、図7の様な菱形の座標をグラフ用紙の上に作成してみてください。

お互いに時間が遅れる

 1-3 で、時間の遅れについて扱いましたが、これが、お互いに遅れていることが、ローレンツ変換を使って理解できます。原点O’に対して固定された、1つの時計で「時間2」を測ったとします。これは、図8の様になります。時計は点Pから、点Qへと移動します。この間、O’に対して固定された座標x’の読みはゼロのままです。時間の読みは、斜めに傾いた線で読みとって2です。この間、原点Oに対して固定された座標では、時間をまっすぐ上向きに読みとるので、時間は 2.5 経過していることが読みとれます。

では、原点Oに対して固定された、1つの時計で「時間2」を測ったとします。これは、図9の様になります。時計は点Rから、点Sへと移動します。この間、Oに対して固定された座標xの読みはゼロのままです。この時間を、斜めに傾いた、原点O’に対して固定された座標の時間で読みとると、やはり、2.5 という答えが出てきます。
 これを計算で導出すには、点Qの値を計算します。ローレンツ変換に、

v = 0.6c,ct’=2, x’=0
を、代入します。すると、点Qのctの値が求まります。
問題1:一定の速度vで移動する宇宙船の中の時計が、T秒進みました。その間に、宇宙船の外の時計は、いかほどの時間を刻んでいますか?ローレンツ変換を用いて計算してください。

お互いに進行方向に縮む

 1-3 で、長さの縮みについて扱いましたが、これが、お互いに縮んでいることが、ローレンツ変換を使って理解できます。時間の場合と同じ要領で考えます。

 図10のマーク部分は、O’に対して静止している長さ3の棒を表しています。 この長さは、O’から見て、同時刻に測らなければならないから、x’の方向にx’の目盛で測ります。これをOに対して固定された座標から見ると、棒の両端は図のPとQが同時に存在します。従って、棒の長さは、2.4にまで縮んでしまいます。
  図11のマーク部分は、Oに対して静止している長さ3の棒を表しています。 この長さは、Oから見て、同時刻に測らなければならないから、xの方向にxの目盛で測ります。これをO’に対して固定された座標から見ると、棒の両端は図のRとSが同時に存在します。従って、棒の長さは、2.4にまで縮んでしまいます。この棒が縮む現象は、ローレンツ収縮とよばれています。
 これを計算で求めるには、図10の場合、点Qについて計算してみます。ローレンツ変換に、

v = 0.6c,t = 0, x’=3
を代入して、t’を消去。点Qのxの値が求めます。
問題2:静止しているときに測った長さがLの棒があります。この棒が、長さ方向に、速さvで、移動していきました。棒の長さは、いくらになったでしょうか?ローレンツ変換を用いて、計算してください。
 ここで、私たちは、「相対性」と矛盾しない
●時間の遅れ
●ローレンツ収縮

について知ることが出来ました。

2-5-2、超光速と棒とタイムマシン

超光速 ・・・?

 ローレンツ変換を使った速度合成の式から、光より遅いどんな速さを足しても、光の速さを越えることができないことが、わかっています。しかし、遠い未来に、未知の物理法則が発見されて、光の速さを越えることができるようになったとしましょう。これをグラフに表してみましょう。たとえば、図1のイベントAとイベントBの間がそれに当たります。グラフは時間方向にc倍に引き延ばされているから、光の先端の位置は、軸から45゜の傾きを持った直線で表されます。AB間はその傾きよりも緩くなっていますので、同じ時間の間に、光よりも遠くに行けることを示しています。
 点の動きを、体験してみましょう。まず、スリットを作ります。厚紙を2枚用意してください。厚紙のへりのまっすぐなところを、向かい合わせて、平らなところに置き、隙間が1mmぐらいになるように調節します。その上から、透明なセロハンテープを貼って、隙間を固定します。これがスリット。これをグラフの上にあてがって、隙間をのぞくと、グラフの「線」が、「点」になっているでしょう。隙間を、左右水平に置いて、下から上に向かって、ゆっくり動かしてみます。動かす速さは、一定に保ちます。どうですか?点が動いて行くでしょう。その動きが、AB間で速くなったのが見えますか?

 さて、この点(グラフ上では線)を、点O’が追いかけます。光の速さに対して無視できないような、大きな速さで、追いかけてみます。図2を見てください。点O’の速さが一定だとすると、グラフ上では直線で表されます。O’から見た世界では、イベントAとイベントBの間は、どのように見えるでしょうか?図2のように、O’の描く線のt軸からの傾きが、ちょうど、AB間のx軸からの傾きと傾きと同じになるようにしてみます。すると、O’から見える世界は、ローレンツ変換によって、図3のようになります。ここに、O’から測った時刻をt’、位置をx’としました。
 O’から見た、点の動きを体験してみましょう。スリットの隙間を、x’軸と平行に傾けて、下から上へ動かしてみてください。O’の位置が隙間の中で動かないように、横にも、うごかしてみると良いです。この傾いた世界が、O’にとっての「同時刻」の空間です。

 イベントAとイベントBは、同じ時刻にあらわれます。光の速さがOとO’のどちらから見ても、同じとなるように、O’から見た同時刻の線が、右肩上がりに持ち上がっているせいです。
 図3をt’軸とx’軸が直角になるように、書き直したのが図4です。図3と図4は全く同じ内容を表しています。イベントAとイベントBが、いかにも同じ時刻であることが、見やすくなったでしょう。
 こうなると、線分ABは、「光の速さを越えた点の運動」と言うよりも、「棒」と呼んだ方が適切かもしれません。「時刻t’=1に、長さ2の棒が、一瞬現れて消えた。」と、表現されるでしょう。棒と言われるのがイヤでしたら、「瞬間移動」と呼ぶのはいかがですか?光の速さを越ることと、時間をかけずに瞬間移動することは、じつは、同じことだったのです。
 では、棒と瞬間移動の違いは何でしょう?それは、移動の場合には、原因と結果の関係があるということです。イベントAのできごとが、イベントBに影響を与えているならば、AからBへ「移動した」ということができるでしょう。棒の場合には両端のできごとは、全く無関係に存在することができます。とりあえず、「瞬間移動装置」が作れたものとして、話を先に進めてみましょう。

タイムマシン ・・・?

 瞬間移動装置を作ることができたならば、時間を、さかのぼることができます。瞬間移動装置の技術を応用して、タイムマシンが作れるでしょうか?

 図5をご覧ください。イベントAに向かってO’よりも、さらに高速で走る点O”を考えます。O”で測った時刻をt”、位置をx”とします。 O”から見た世界は、やはり、同時刻の線が右肩上がりに傾きます。見やすくするために、t”軸と、x”軸を垂直に描いたのが、図6です。イベントBよりも、イベントAの方が後になっています。つまり、時間を、さかのぼってしまいました。瞬間移動装置は、タイムマシンとしても、使えそうな気がしてきました。
では、ここで問題です。この瞬間移動装置A→Bが、世界中でたった1個だけあったとして、過去の自分に会うことができますか?考えてみてください。

問題の答えへの大ヒント:

 図7をご覧ください。19世紀までは、時間の概念は単純でした。しかし、今日では、ローレンツやアインシュタインによって、同時刻というのは相対的な概念であることが明らかにされています。
 イベントPに向かう光と、イベントPから発生した光を、グラフに書き込みます。この45゜の線の左右両側に存在するイベントは、どれでも適当なローレンツ変換をすることで、必ず、Pと同時刻になるように、座標系を選ぶことができます。つまり、この領域は、イベントPと同時刻になりることができるイベントの集まりです。従って、この領域でおこった出来事が、イベントPに影響を及ぼすことは、できません。
 45゜の線を挟んで上下には、Pの未来と過去が広がります。未来側は、イベントPの影響を受けることのできるイベントの集まりです。過去側は、イベントPに影響を与えることのできるイベントの集まりです。ただし、ここには、ルール違反の「瞬間移動装置」や、「タイムマシン」が、一つも存在しないことを、前提としています。

問題の答え:

 図8をご覧ください。どんなにローレンツ変換を繰り返しても、AとBを結ぶ線の傾きを45゜より深くすることはできません。過去の自分に会うためには、図9のように、点が描く線が交わらなければなりません。しかし、瞬間移動装置では、図8のように、BがAの過去に入ることができません。したがって、瞬間移動装置1機のみを使って、過去の自分に会うことはできません。
 では、もし、タイムマシンを作ることに成功したとして、過去の自分を殺してしまったら、どうなるでしょうか・・・?(文献2,3)この問題は、ずっと後で取り扱います。

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