2-5、ローレンツ変換　図解編

2-5-1、グラフでナットク

　ここでは、ローレンツ変換[ 2-3-3の(4)式 ]を、視覚的に捉えてみます。 お手元にグラフ用紙を用意してください。 ある時刻と場所の点が、２種類の座標でどう表されるものか、グラフ用紙に書いてみましょう。

自然法則は幾何学の言葉で記述される！？

　物理学の醍醐味の一つは、自分が予言者になれることです。森羅万象の出来事が、時間と共にどの様に変化していくか、規則性を見いだすことで、未来を予測する知識を得ます。 私たちは、その規則性を、図に描いて理解することができます。ちょうど、電車の時刻表を想像してください。たくさんの電車が、いつ何処にいるか、はっきりわかりますね。
　時刻表は、表だけれども、これをグラフにすると、電車の位置を視覚的にとらえることができます。電車の位置を、空間方向と時間方向をそれぞれ軸としたグラフに書き込んでしまいます。
　極端な話、時間と共に移り変わる全ての出来事は、一つの図形で理解することができるようになります。図形を扱うのは数学で言うところの幾何学です。とても大げさな表現をすると、「自然法則は幾何学の言葉で記述される」ということになります。

ｘ-ｔグラフと点とイベント

　図１a をごらんください。ｘで代表される座標の上を、点Ｑが動いていきます。これを各時刻ごとに、下から上へ積み上げて描いてみましょう。すると、図１b のようになります。 これを連続的に表すためには、縦に順番につなげて、図１c のような、ｘ-ｔグラフにしてしまいます。このグラフの上では、点Ｑは、線として表されることになります。ｘ-ｔグラフには、縦軸と横軸がありますが、どちらにｔを割り振って、どちらにｘを割り振らなければならないかというような、決まりはありません。学校の物理の授業では、横軸にｔ、縦軸にｘを割り振っている場合が、多いのではないのでしょうか。
　ある場所で、ある瞬間に、Ｐと呼ばれるイベント（＝出来事）が、おこったとしましょう。これは、ｘ-ｔグラフの上では、点として表されます。しかし、私たちが「点」と認識しているものは、このグラフの上では、線として描かれています。呼び方がとても紛らわしいので、混乱の恐れがある場合には、時間と位置の両方が狭く限られているＰのような領域を「イベント」と呼ぶことにします。なお、多くの教科書や通俗書では、このイベントのことを「事象」とよんでいます。Event を日本語に訳したものです。かえって難しくなってしまったように聞こえるので、訳さないで、そのままよぶことにします。
　大きさを持った棒は、どのように書き込まれるかというと、図１c のように面としてあらわされます。ちょうど、新しいチョークを、黒板に横にしてくっつけて、擦ってできたような図形。棒の長さは、図１b のような状況で測ればよいので、図１c では、棒を表す面を、時刻一定の線で切った切り口の長さを求めます。
　なお、このグラフ用紙の上に、コーヒーをこぼしてしまったとしましょう。 グラフ用紙は、水分を吸って、ところどころ伸びてしまいました。もうベコベコです。こういう状況を俗に「時空が歪んでいる」といいます。いくつかの、お互いに一定の間隔で直進しているハズの点の集まりが、膨らんだシミの部分を通り抜けると、おたがいに集まってしまいます。点をあらわす線は、それぞれまっすぐに引いてあるのに、です。これを使って、ものが落ちる性質「重力」を表現することができます。

　さて、問題です。次の内容は、点ですか？それともイベントですか？
　　１、初代校長先生の銅像の鼻先。
　　２、タケシ君が手をたたいた。

別の座標を重ね書きしてみよう

　ｘ-ｔグラフの中に、新たにｃｔ’とｘ’の値を書き込んでみましょう。 [ 2-3-3の(４’)式 ]をご覧ください。イベント（点）がどの様に移されるでしょうか？ｃｔ’とｘ’の値を適当に入れて、それが、ｃｔとｘではどのような値になるものか、調べてみます。

（cｔ’，ｘ’）＝（０，０）　→　（cｔ，ｘ）＝（０，０） （cｔ’，ｘ’）＝（１，０）　→　（cｔ，ｘ）＝（Cosh，Sinh） （cｔ’，ｘ’）＝（０，１）　→　（cｔ，ｘ）＝（Sinh，Cosh） ここに、

Cosh＝，　Sinh =（ｖ／ｃ）Cosh

となります。例えば、速さｖの値を光の速さｃの60％だとすると、

（cｔ’，ｘ’）＝（０，０）　→　（cｔ，ｘ）＝（０，０） （cｔ’，ｘ’）＝（１，０）　→　（cｔ，ｘ）＝（1.25，0.75） （cｔ’，ｘ’）＝（０，１）　→　（cｔ，ｘ）＝（0.75，1.25）

と、いうことになります。それぞれの点は、図２の様に表されます。

（cｔ’，ｘ’）＝（２，０）となるような点は、どうしましょう？ 計算でも求めることができますが、図を利用して求めることができます。 （cｔ’，ｘ’）の値が、 （０，０）から （１，０）へと向かう線分を２倍に延長して、図３のｃｔ’＝２の点が求まります。この要領で、ｘ’＝０を満たす任意の点（つまり、原点Ｏ’のあらゆる時刻での位置）が、図３のように作図によって求めることができます。
　同様にして、ｔ’＝０を満たす任意の点も、図４の様に求めることができます。この線は、ｔ’＝０ですから、この線上の点は全て同じ時刻を表していることになります。但し、原点Ｏ’と一緒に走る座標系での「同時刻」です。この線が、ｘ軸と重なっていないことが、とても特徴的です。このズレこそが、「同時刻」が、相対的であることを物語っています。
　つぎに、原点Ｏ’を基準とした、同時刻の線と、同じ位置の線をたくさん描いてみましょう。同時刻の線は、図５のように、cｔ’=０の線と平行に引きます。同じ位置の線は、図６のように、ｘ’=０の線と、平行に引きます。

　こうして、何本も線を引くと、図７のように、斜めにひしゃげた座標を書き込むことができます。これで、同じグラフ上の一つの点が、Ｏを基準とした世界での値と、Ｏ’を基準とした世界での値の、２通りの値に読みとれるようになります。

各自、図７の様な菱形の座標をグラフ用紙の上に作成してみてください。

お互いに時間が遅れる

　1-3 で、時間の遅れについて扱いましたが、これが、お互いに遅れていることが、ローレンツ変換を使って理解できます。原点Ｏ’に対して固定された、１つの時計で「時間２」を測ったとします。これは、図８の様になります。時計は点Ｐから、点Ｑへと移動します。この間、Ｏ’に対して固定された座標ｘ’の読みはゼロのままです。時間の読みは、斜めに傾いた線で読みとって２です。この間、原点Ｏに対して固定された座標では、時間をまっすぐ上向きに読みとるので、時間は 2.5 経過していることが読みとれます。

では、原点Ｏに対して固定された、１つの時計で「時間２」を測ったとします。これは、図９の様になります。時計は点Ｒから、点Ｓへと移動します。この間、Ｏに対して固定された座標ｘの読みはゼロのままです。この時間を、斜めに傾いた、原点Ｏ’に対して固定された座標の時間で読みとると、やはり、2.5 という答えが出てきます。
　これを計算で導出すには、点Ｑの値を計算します。ローレンツ変換に、

ｖ = 0.6ｃ，ｃｔ’＝２，　ｘ’＝０ を、代入します。すると、点Ｑのｃｔの値が求まります。

問題１：一定の速度ｖで移動する宇宙船の中の時計が、Ｔ秒進みました。その間に、宇宙船の外の時計は、いかほどの時間を刻んでいますか？ローレンツ変換を用いて計算してください。

お互いに進行方向に縮む

　1-3 で、長さの縮みについて扱いましたが、これが、お互いに縮んでいることが、ローレンツ変換を使って理解できます。時間の場合と同じ要領で考えます。

　図10のマーク部分は、Ｏ’に対して静止している長さ３の棒を表しています。 この長さは、Ｏ’から見て、同時刻に測らなければならないから、ｘ’の方向にｘ’の目盛で測ります。これをＯに対して固定された座標から見ると、棒の両端は図のＰとＱが同時に存在します。従って、棒の長さは、2.4にまで縮んでしまいます。
　 図11のマーク部分は、Ｏに対して静止している長さ３の棒を表しています。 この長さは、Ｏから見て、同時刻に測らなければならないから、ｘの方向にｘの目盛で測ります。これをＯ’に対して固定された座標から見ると、棒の両端は図のＲとＳが同時に存在します。従って、棒の長さは、2.4にまで縮んでしまいます。この棒が縮む現象は、ローレンツ収縮とよばれています。
　これを計算で求めるには、図10の場合、点Ｑについて計算してみます。ローレンツ変換に、

ｖ = 0.6ｃ，ｔ = ０，　ｘ’＝３ を代入して、ｔ’を消去。点Ｑのｘの値が求めます。

問題２：静止しているときに測った長さがＬの棒があります。この棒が、長さ方向に、速さｖで、移動していきました。棒の長さは、いくらになったでしょうか？ローレンツ変換を用いて、計算してください。

　ここで、私たちは、「相対性」と矛盾しない

●時間の遅れ ●ローレンツ収縮

について知ることが出来ました。

2-5-2、超光速と棒とタイムマシン

超光速　・・・？

　ローレンツ変換を使った速度合成の式から、光より遅いどんな速さを足しても、光の速さを越えることができないことが、わかっています。しかし、遠い未来に、未知の物理法則が発見されて、光の速さを越えることができるようになったとしましょう。これをグラフに表してみましょう。たとえば、図１のイベントＡとイベントＢの間がそれに当たります。グラフは時間方向にｃ倍に引き延ばされているから、光の先端の位置は、軸から45゜の傾きを持った直線で表されます。ＡＢ間はその傾きよりも緩くなっていますので、同じ時間の間に、光よりも遠くに行けることを示しています。
　点の動きを、体験してみましょう。まず、スリットを作ります。厚紙を２枚用意してください。厚紙のへりのまっすぐなところを、向かい合わせて、平らなところに置き、隙間が１mmぐらいになるように調節します。その上から、透明なセロハンテープを貼って、隙間を固定します。これがスリット。これをグラフの上にあてがって、隙間をのぞくと、グラフの「線」が、「点」になっているでしょう。隙間を、左右水平に置いて、下から上に向かって、ゆっくり動かしてみます。動かす速さは、一定に保ちます。どうですか？点が動いて行くでしょう。その動きが、ＡＢ間で速くなったのが見えますか？

　さて、この点（グラフ上では線）を、点Ｏ’が追いかけます。光の速さに対して無視できないような、大きな速さで、追いかけてみます。図２を見てください。点Ｏ’の速さが一定だとすると、グラフ上では直線で表されます。点Ｏ’から見た世界では、イベントＡとイベントＢの間は、どのように見えるでしょうか？図２のように、Ｏ’の描く線のｔ軸からの傾きが、ちょうど、ＡＢ間のｘ軸からの傾きと傾きと同じになるようにしてみます。すると、Ｏ’から見える世界は、ローレンツ変換によって、図３のようになります。ここに、Ｏ’から測った時刻をｔ’、位置をｘ’としました。
　Ｏ’から見た、点の動きを体験してみましょう。スリットの隙間を、ｘ’軸と平行に傾けて、下から上へ動かしてみてください。Ｏ’の位置が隙間の中で動かないように、横にも、うごかしてみると良いです。この傾いた世界が、Ｏ’にとっての「同時刻」の空間です。

　イベントＡとイベントＢは、同じ時刻にあらわれます。光の速さがＯとＯ’のどちらから見ても、同じとなるように、Ｏ’から見た同時刻の線が、右肩上がりに持ち上がっているせいです。
　図３をｔ’軸とｘ’軸が直角になるように、書き直したのが図４です。図３と図４は全く同じ内容を表しています。イベントＡとイベントＢが、いかにも同じ時刻であることが、見やすくなったでしょう。
　こうなると、線分ＡＢは、「光の速さを越えた点の運動」と言うよりも、「棒」と呼んだ方が適切かもしれません。「時刻ｔ’＝１に、長さ２の棒が、一瞬現れて消えた。」と、表現されるでしょう。棒と言われるのがイヤでしたら、「瞬間移動」と呼ぶのはいかがですか？光の速さを越ることと、時間をかけずに瞬間移動することは、じつは、同じことだったのです。
　では、棒と瞬間移動の違いは何でしょう？それは、移動の場合には、原因と結果の関係があるということです。イベントＡのできごとが、イベントＢに影響を与えているならば、ＡからＢへ「移動した」ということができるでしょう。棒の場合には両端のできごとは、全く無関係に存在することができます。とりあえず、「瞬間移動装置」が作れたものとして、話を先に進めてみましょう。

タイムマシン　・・・？

　瞬間移動装置を作ることができたならば、時間を、さかのぼることができます。瞬間移動装置の技術を応用して、タイムマシンが作れるでしょうか？

　図５をご覧ください。イベントＡに向かってＯ’よりも、さらに高速で走る点Ｏ”を考えます。Ｏ”で測った時刻をｔ”、位置をｘ”とします。 Ｏ”から見た世界は、やはり、同時刻の線が右肩上がりに傾きます。見やすくするために、ｔ”軸と、ｘ”軸を垂直に描いたのが、図６です。イベントＢよりも、イベントＡの方が後になっています。つまり、時間を、さかのぼってしまいました。瞬間移動装置は、タイムマシンとしても、使えそうな気がしてきました。

では、ここで問題です。この瞬間移動装置Ａ→Ｂが、世界中でたった１個だけあったとして、過去の自分に会うことができますか？考えてみてください。

問題の答えへの大ヒント：

　図７をご覧ください。19世紀までは、時間の概念は単純でした。しかし、今日では、ローレンツやアインシュタインによって、同時刻というのは相対的な概念であることが明らかにされています。
　イベントＰに向かう光と、イベントＰから発生した光を、グラフに書き込みます。この45゜の線の左右両側に存在するイベントは、どれでも適当なローレンツ変換をすることで、必ず、Ｐと同時刻になるように、座標系を選ぶことができます。つまり、この領域は、イベントＰと同時刻になりることができるイベントの集まりです。従って、この領域でおこった出来事が、イベントＰに影響を及ぼすことは、できません。
　45゜の線を挟んで上下には、Ｐの未来と過去が広がります。未来側は、イベントＰの影響を受けることのできるイベントの集まりです。過去側は、イベントＰに影響を与えることのできるイベントの集まりです。ただし、ここには、ルール違反の「瞬間移動装置」や、「タイムマシン」が、一つも存在しないことを、前提としています。

問題の答え：

　図８をご覧ください。どんなにローレンツ変換を繰り返しても、ＡとＢを結ぶ線の傾きを45゜より深くすることはできません。過去の自分に会うためには、図９のように、点が描く線が交わらなければなりません。しかし、瞬間移動装置では、図８のように、ＢがＡの過去に入ることができません。したがって、瞬間移動装置１機のみを使って、過去の自分に会うことはできません。
　では、もし、タイムマシンを作ることに成功したとして、過去の自分を殺してしまったら、どうなるでしょうか・・・？（文献２,３）この問題は、ずっと後で取り扱います。